Всего: 225 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Фокусник выкладывает в ряд колоду
(Алексей Воропаев)
Дана окружность 
с центром 0 и две её различные точки А и С. Для любой другой точки P на отметим середины X и Y отрезков AP и CP и построим точку H пересечения высот треугольника ОХҮ. Докажите, что положение точки Н не зависит от выбора точки Р.
(Артемий Соколов)
то 
а прямая YH содержит среднюю линию треугольника APC. Аналогично, прямая 
содержит среднюю линию этого треугольника. Эти средние линии пересекаются в точке H — середине стороны AC.В каждой клетке полоски
(Егор Бакаев)
Бесплатная операция меняет фишки в соседних одноцветных клетках. Поэтому в клетках одного цвета фишки можно бесплатно переставить в любом порядке. Поменяем фишки во всех парах bc и 
то 49 платных операций. В клетках цвета b и c фишки уже можно расставить нужным образом бесплатно. В клетках цвета a и d сделаем так, чтобы фишки 0 и 99 встали рядом. Поменяем их последней платной операцией и дорасставим все фишки в нужном порядке.
Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на 412. Верно ли, что каждое из чисел 
делится 
(индексы считаем зацикленными, то есть за 1000 следует 1). Значит, 
при любом 
Так как числа 41 и 1000 взаимно просты, то квадраты всех чисел на круге дают при делении на 
один и тот же остаток. Следовательно, 
делится на 
поэтому 
делится на 41 , а поскольку 41 — простое число, то и 
делится на 41.
и уголков из трёх кубиков 
Вася целиком заполнил ими 
Из двух уголков можно сложить кирпич 
Если 
чётно, то основание коробки можно разбить на доминошки 
и поставить на них по кирпичу, заполнив тем самым коробку. Иначе разобьём основание коробки на квадрат 
и два прямоугольника (возможно пустых), см. рис. Прямоугольники разобьём на доминошки, а квадрат — как на рисунке. На доминошки поставим по кирпичу, а в оставшееся место положим три уголка. Коробка заполнена уголками.
так как при любом натуральном k число 
делится как на 
так и на 
По условию, 
где x и y натуральные. Тогда 
причём c делится на 
делится на 
откуда 
делится на 
и так как x и 
взаимно просты, y делится на 
при всех натуральных 
На высотах AA0, BB0, CC0 остроугольного неравностороннего треугольника ABC отметили соответственно точки A1, B1, C1 так, что 
где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 
совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
(Е. Бакаев)
симметричны относительно биссектрисы угла C и 
где I — центр вписанной окружности. Аналогично 
то есть I — центр описанной окружности треугольника 
и удалим из него внутренний центральный квадрат 
оставив только рамку толщиной 1. В рамке будет как раз 40 клеток. Докажем, что на плоскости нет клетчатого прямоугольника, содержащего ровно 20 из этих 40 клеток.
(слишком мало).
и удалим из него клетки 
и 
Останется ровно 40 клеток. Предположим, что нашёлся клетчатый прямоугольник, в котором ровно 20 отмеченных клеток. Он может затрагивать одну, две или три горизонтали с 
с вырезанным центральным квадратом 
но доказательство более длинное.Для бесконечной последовательности 
её первая производная — это последовательность 
Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если 
—
— хорошая последовательность.
(Р. Салимов)
Тогда 
(и у произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных чисел. Кроме того, мы представили 
в виде суммы двух произведений хороших последовательностей. Далее по индукции, пользуясь тем, что производная суммы — это сумма производных и первая производная произведения хороших последовательностей положительна, получаем, что и все производные у На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого — дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше π, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
(А. Заславский)
(Доказательство формулы площади заключается в применении формулы включений-исключений к трем полусферам, пересечением которых является данный треугольник.)
и симметрии относительно серединного перпендикуляра к AB). Тогда треугольники ABC и BAD равны. Значит, 
и 
также равны треугольнику 
Четыре полученных треугольника покрывают сферу.
Если плоскость 
содержит центр O сферы, то сферический треугольник ABC вырожден, и его площадь не такая, как надо. Иначе 
отрезает от сферы «шапочку» площади меньше полусферы. Далее, прямая AB (нестрого) разделяет C и проекцию O на 
значит, часть шапочки, отсекаемая плоскостью OAB и содержащая C, не больше её половины. Наконец, сферический треугольник 
лежит в этой области, площадь которой меньше четверти площади сферы — противоречие.
—
разбивают пространство, то есть каждый из них равен четверти площади единичной сферы. Однако, если 
и упомянутые телесные углы дают требуемое разбиение сферы на 4 части.Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в конце кубика не зависит от места, с которого стартовал робот. Назовём N удачным, если при любом выборе N кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные N.
(И. Богданов)
от деления на 3 произвольным образом. Все операции с ними также будем производить по модулю 3. Тогда операция, производимая роботом, такова: если уничтожаются кубики цветов a и b, то появляется кубик цвета 
то после каждого прохода полного круга количество кубиков уменьшается вдвое, а их сумма меняет знак. Значит, в конце получится кубик цвета 
вне зависимости от места старта. Мы доказали, что степени двойки удачны.
где 
то рассмотрим расстановку из одного красного кубика и 
белого. Если робот стартует перед красным кубиком, то после d ходов останутся один синий кубик и 
белых. Если робот стартует непосредственно после красного кубика, то через d ходов останутся один красный кубик и 
тоже. Действительно, если в расстановке N кубиков робот будет начинать только с чётных позиций, то после 
(а значит, по замечанию, и все N, кроме степеней двойки) неудачны. Действительно, начнём с расстановки с одним красным и 
белыми кубиками. Если робот стоял перед красным кубиком, через 
ход останутся один красный и 
белый кубик, робот стоит после красного. Если же робот стартует непосредственно после красного, через 
количество сомножителей в его разложении на простые (например, сложность чисел 4 и 6 равна 2). Для каких n все числа между n и 2n имеют сложность 
—
имеют сложность не больше k. 
есть степень двойки (можно взять наибольшую степень двойки, меньшую n, и удвоить её). Очевидно, её сложность больше, чем у 
где k натуральное. Но число 
имеет такую же сложность, как и n, и находится между n и 
а сложность qr равна сложности n.
наших треугольников. Заметим, что K и K1 — центры окружностей, вписанных в четырёхугольники ABDC и A1B1D1C1, а требуемое неравенство превратилось в очевидное неравенство 
где r и r1 — радиусы указанных окружностей.Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные — по 2 грамма, медные — по 1 грамму. Как на чашечных весах без гирек гарантированно определить тип у всех монет не более, чем за 101 взвешивание?
(Владислав Новиков)
числом взвешиваний 
Сначала выделим одну монету и будем сравнивать незатронутые монеты с ней, пока не найдём монету другого веса. Пусть A более лёгкая, а B — более тяжёлая из затронутых монет. Далее сравниваем незатронутые монеты с B, пока снова не получим неравенство. Теперь у нас 
есть одна или несколько монет одинакового веса a, одна или несколько монет другого веса 
и одна монета C веса 
Сравним C с A. Возможны два случая. 
Сравним B с 
то есть b с 
Возможны варианты: 
(если 
Во всех случаях ситуация победная: 
веса z монет определены и есть нужные монеты (с общим весом 2). 
Значит, a, b, c — три разных веса, они как-то упорядочены 
или 
поэтому определены однозначно. При этом 
—
Тогда можно определить, какая из k монет какого типа, за 
Теперь сравним 
и 
Если веса пар равны, то 
и 
так что мы можем выкинуть B и b (запомнив, что они совпадают по весу с A и a), и воспользоваться предположением индукции для 
монет.
Заметим, что при этом обязательно 
и 
Монеты в паре 
имеют либо веса 
с 
мы однозначно восстановим веса всех четырёх монет. Среди них есть монета веса 2, будем сравнивать с ней все остальные монеты, на что уйдут оставшиеся 
взвешивания. Первое утверждение доказано. Теперь выведем по индукции следующее утверждение, усиливающее требуемое в задаче.
и воспользуемся утверждением.Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.
(Артемий Соколов)
точка P — в точку R пересечения биссектрисы угла B с 
—
что пара 
хорошая. Действительно, 
есть квадрат, умноженный на 
Тогда 
Так как n, поделённое на m, тоже квадрат, имеем: 
равным 
тогда 
откуда 
У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами
(Татьяна Казицына)
рублей мелочи, а значит, после этого её станет не больше чем 
рублей. Так как дорогие покупки количество мелочи не уменьшают, то все предыдущие покупки вместе с рассмотренной дали в сумме не более 
меньше половины потраченного. Поэтому другие покупки есть. Но тогда у Пети было не менее 
сторублёвки, а мелочи в конце стало не больше 
Значит, 
откуда 
Таким образом, мелочи останется не более 
Значит, и потрачено менее 5000 рублей.
руб.
и за каждую из них отдано не больше двух сторублёвок (иначе указанная разность не больше 
Следовательно, всего сторублёвок было не больше 
а половина от этой суммы не больше 
В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101 · 101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?
(Александр Грибалко)
без угловой клетки можно получить, 
раз приложив печать из 
клеток. Для пояснения приведём рисунок для 
с двумя приклеенными сверху и справа полосками 
Разобьём квадрат 
Покрасим левый нижний и правый верхний квадратики 
и верхнюю полоску в серый цвет. Теперь белая часть получается из серой поворотом на 
по часовой стрелке (относительно центра квадрата 
Левый край каждого серого квадратика 
отпечатками покроем белую область. 
таков, что для всякого целого 
каждый из многочленов 
и 
либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n. Может ли многочлен 
иметь нечётную степень?
Запишем многочлен 
—
степень многочлена 
есть n различных корней, поэтому его степень не меньше n. Но она не больше m, значит, 
При этом одночлен 
заведомо встречается в произведении 
и не встречается в остальных произведениях, 
—Отрезки 
и 
с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P — точка пересечения высот треугольника ABC.
(Г. Гальперин)
B и 
лежат на одной окружности. Значит, 
—
и 
—